Сайт преподавателя Силаевой Н.Ю. ... ...

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 1.
На основании исходных данных распределения путевок по месяцам в регионе определить:
1. Показатели, характеризующие форму сезонных колебаний;
2. Показатели силы сезонных колебаний.
Таблица 1 – Исходные данные

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Число путевок 1994 1870 1860 1980 1995 2010 2030 2500 2400 2350 2120 2030

РЕШЕНИЕ.
1. Для определения показателей, характеризующих форму сезонных колебаний, создаем вспомогательную таблицу
Таблица 2 – Вспомогательная таблица

Месяц Число
путевок		 Отклонения от
среднемесячного уровня		 Квадраты отклонений Индексы
сезонных колебаний, %
1 1994 -101 10201 95,2
2 1870 -225 50625 89,3
3 1860 -235 55225 88,8
4 1980 -115 13225 94,5
5 1995 100 10000 95,2
6 2010 -85 7225 95,9
7 2030 -65 4225 96,9
8 2500 405 164025 119,3
9 2400 305 93025 114,6
10 2350 255 65025 112,2
11 2120 25 625 101,2
12 2030 -65 4225 96,9
Итого 25139 |1981| 313626 -

Решение к таблице 2.
Абсолютное отклонение находится путем вычитания из месячного уровня среднемесячного уровня
ȳ=25139/12= 2095
Отклонениe от среднемесячного уровня: 1994-2095 = -101
Квадрат отклонения: (-101) ∙ (-101) = 10201
Индекс сезонных колебаний: (1994/2095) ∙ 100% = 95,2%.
 Форму сезонных колебаний можно представить графически:

На графике четко видно, что большой спрос на путевки наблюдается с июля по октябрь, а в зимние месяцы – меньший спрос, особенно это касается февраля и марта.

2. Силу сезонных колебаний характеризуют следующие показатели:
- размах колебаний:
R = Уmax – Уmin = 2500-1860 = 640 путевок
- среднее абсолютное отклонение:
а = Σ|Уi – Ӯмес| / 12 = |1981| / 12 = 165 путевок
- среднее квадратическое отклонение:
σ = √ Σ(У1 – Ӯмес)2 / 12 = √ 313626/12 = 162 путевки
- относительное отклонение:
ρ = (а/ȳмес)∙100% = (165/2095)∙100% = 7,8%
- коэффициент сезонных колебаний:
Vсез = (σ/ȳмес)∙100% = (162/2095)∙100% = 7,7%
Рассчитанные показатели свидетельствуют, что распределение путевок в регионе по месяцам равномерное, так как коэффициент сезонных колебаний меньше 10%.

ЗАДАЧА 2.
На основании исходных данных о реализации мяса (уi) (тонн) по кварталам за ряд лет:
1. Произвести аналитическое выравнивание (тренд);
2. Рассчитать индексы сезонных колебаний;
3. Рассчитать взвешенные индексы сезонных колебаний;
4. Рассчитать уровни динамического ряда с учетом сезонных колебаний;
5. Определить общую сумму квадратов отклонения фактических уровней от среднего уровня за весь период;
6. Определить сумму квадратов отклонений за счет тренда;
7. Определить сумму квадратов отклонений за счет сезонных колебаний;
8. Определить сумму квадратов отклонений за счет сезонных колебаний.
Таблица 1 – Исходные данные

Квартал Первый год Второй год Третий год
I II III IV I II III IV I II III IV
Количество мяса, т 38 28 36 58 64 50 56 86 97 71 75 109
Время (t)-условно -5,5 -4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

Справочно.
Система нормальных уравнений и расчет параметров упрощаются, если отсчет времени (t) ведется от середины ряда.
При нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за ноль (0), тогда предшествующие ряды обозначаются (-1; -2; -3 и т.д.), а следующие за средним (центральным) обозначаются (1; 2; 3 и т.д.).
При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначаются (-1; +1), а все последующие и предыдущие через два интервала: ±3; ±5; ±7 и т.д.

РЕШЕНИЕ.
1. Выявляем основную тенденцию, с использованием прямой линии (тренд):
ỹ = а+b∙t
Поскольку начало отсчета в середине динамического ряда, то
а = ΣVi / n = 768/12 = 64
b = (ΣVi∙t)/Σt2 = 858/143 = 6
ȳ = 64+6∙t
На основе полученного уравнения рассчитываем выравненные (трендовые) значения
ỹi = 64+6∙(-5,5) = 31
ỹi = 64+6∙(-4,5) = 37

2. Рассчитываем индексы сезонных колебаний:
ic1 = 38/31 = 1,226
ic2 = 28/37 = 0,757 и т.д.

3. Определяем взвешенные средние индексы сезонных колебаний. Весами будут служить средние уровни реализации мяса по годам:
Q1год = (38+28+36+58)/4 = 40 т
Q2год = (64+50+56+86)/4 = 64 т
Q3год = (97+71+75+109)/4 = 88 т
Средневзвешенные индексы сезонных колебаний составят (по всем годам):
Iквартал = [(1,226∙40)+(1,164∙64)+1,228∙88)]/ (40+64+88) = (19,4+74,496+109,64)/192 = 1,206
IIквартал = [(0,757∙40)+(0,820∙64)+(0,835∙88)]/192 = 0,8137
IIIквартал == [(0,837∙40)+(0,836∙64)+(0,824∙88)]/192 = 0,8307
IVквартал = [(1,184∙40)+(1,178∙64)+(1,124∙88)]/192 = 1,1546

4. Определяем уровни динамического ряда, которые учитывают тренд и сезонные колебания:
ỹ = ȳ∙ic = 31∙1,206 = 37
37∙0,8137 = 30
43∙0,8307 = 36
49∙1,1546 = 57
Для определения остальных расчетов составляем вспомогательную таблицу 2
Таблица 2 – Вспомогательная таблица

Год Квартал yi t t2 yi∙t Тренд
ȳi		 Индекс
сезонный
Iсез		 Тренд с учетом
сезонности
ȳi'=ȳi∙iсез 		(уi-ȳ)2 (ỹi-ȳ)2 (ỹi-ỹi')2
1 I 38 -5,5 30,25 -209 31 1,226 37 676 1089 36
II 28 -4.5 20,25 -126 37 0,757 30 1296 729 49
III 36 -3,5 12,25 -126 43 0,837 36 784 441 49
IV 58 -2,5 0,25 -145 49 1,184 57 36 225 64
2 I 64 -1,5 2,25 -96 55 1,164 66 0 81 121
II 50 -0,5 0,25 -25 61 0,820 50 196 9 440
III 56 0,5 0,25 28 67 0,836 56 64 9 121
IV 86 1,5 2,25 129 73 1,178 84 484 81 121
3 I 97 2,5 6,25 242,5 79 1,228 95 1089 225 256
II 71 3,5 12,25 248,5 85 0,835 69 49 441 256
III 75 4,5 20,25 337,5 91 0,824 76 121 729 225
IV 109 5,5 30,25 559,5 97 1,124 112 2025 1089 225
Итого 768 0 143 858 768 - 768 6820 5148 1644

5. Определяем общую сумму квадратов отклонений фактических уровней от среднего уровня за весь период:
Σ(уi - ȳ)2 = (38-64)2+(28-64)2+(36-64)2+(58-64)2+(64-64)2+(50-64)2+(56-64)2+(86-64)2+(97-64)2+(71-64)2+(75-64)2+(109-64)2 = 6820

6. Определяем сумму квадратов отклонений за счет тренда:
Σ(ỹi - ȳ)2 = (31-64)2+(37-64)2+(43-64)2+(49-64)2+(55-64)2+(61-+64)2+(67-64)2+(73-64)2+(79-64)2+ (85-64)2+(91-64)2+(97-64)2 = 5148

7. Определяем сумму квадратов отклонений за счет сезонных колебаний:
Σ(ỹi - ȳi')2 = (31-37)2+(37-30)2+(43-36)2+(49-57)2+(55-66)2+(61-50)2+(67-56)2+(73-84)2+(79-95)2+ (85-69)2+(91-76)2+(97-112)2 = 1644

8. Определяем сумму квадратов отклонений за счет случайных колебаний:
Σ(ỹi - ȳi')2 = 6820-5148-1644 = 28

ЗАДАЧА 3.

На основании исходных данных о реализации товаров по месяцам за 4 года в тоннах:
1. Произвести аналитическое выравнивание (тренд).
2. Определить индексы сезонности по кварталам и месяцам.
2. Построить график сезонной волны (по месяцам).
Таблица 1 – Исходные данные

Месяц Первый год Второй год Третий год Четвертый год Итого
Январь 9,0 9,24 9,28 9,336 36,86
Февраль 14,0 14,39 14,45 14,54 57,38
Март 14,4 14,802 14,86 14,96 59,02
Апрель 28,0 28,81 28,94 29,13 114,88
Май 40,0 41,17 41,36 41,63 164,16
Июнь 46,0 17,35 47,57 47,89 188,81
Июль 59,0 60,74 61,03 61,43 242,2
Август 74,0 76,19 76,55 77,06 303,8
Сентябрь 52,0 53,53 53,78 54,14 213,45
Октябрь 41,0 42,2 42,4 42,68 168,28
Ноябрь 16,0 16,45 16,52 16,63 65,6
Декабрь 11,0 11,3 11,35 11,42 45,07
Итого 404,4 416,172 418,09 420,85 1059,51

РЕШЕНИЕ.
Для удобного расчета показателей преобразуем таблицу 1 в следующий вид:
Таблица 2 – Расчет теоретических уравнений ряда

Год Квартал yi t t2 yi∙t Тренд
ȳi		 Индекс
сезонный
Iсез		 Тренд с учетом
сезонности
ȳi'=ȳi∙iсез
1 I 37,4 -15 225 -561 128,57 0,291 36,9
II 114,0 -13 169 -1482 129,89 0,878 111,19
III 185,0 -11 121 -2035 131,21 1,41 180,94
IV 68,0 -9 81 -612 132,53 0,513 65,86
2 I 38,43 -7 49 -248,01 133,85 0,2871 37,88
II 117,33 -5 25 -586,65 135,17 0,868 115,71
III 191,36 -3 9 -574,08 136,49 1,402 188,22
IV 69,95 -1 1 -69,95 137,81 0,5076 68,49
3 I 38,6 1 1 38,6 139,13 0,2774 39,37
II 117,87 3 9 353,61 140,45 0,8392 120,23
III 192,63 5 25 963,15 141,77 1,3588 195,50
IV 70,27 7 49 491,89 143,09 0,491 71,12
4 I 38,84 9 81 349,56 144,41 0,269 40,87
II 118,65 11 121 1305,15 145,73 0,8142 123,61
III 192,63 13 169 2504,19 147,05 1,309 202,78
IV 70,73 15 225 1060,95 148,37 0,4767 73,74
Итого 1661,69 0 1360 898,41 2215,52 11,992 1672,41

1. Выявляем основную тенденцию (направление) с использованием прямой линии (тренд):
ỹ = а+b∙t
Поскольку начало отсчета в середине динамического ряда, то
а = Σуi / n = 1661,69/12 = 138,47 т
b = (Σуi∙t)/Σt2 = 898,41/1360 = 0,66 т
ȳ = 104+0,7∙t
На основе полученного уравнения рассчитываем выравненные (трендовые) значения
ỹi = 138,47+0,66∙(-15) = 128,57
ỹi = 138,47+0,66∙(-13) = 129,89

2. Рассчитываем индексы сезонных колебаний:
ic1= уi/ȳi = 37,4/128,57 = 0,291
ic1=уi/ȳi = 114/129,89 = 0,878

3. Определяем взвешенные средние индексы сезонных колебаний. Весами будут служить средние уровни реализации мяса по годам:
Q1год = (37,4+114,0+185,0+68,0)/4 = 404,4/4 = 101,1 т
Q2год = (38,43+117,33+191,36+69,95)/4 = 417,07/4 = 104,27 т
Q3год = (38,6++117,87+192,63+70,27)/4 = 419037/4 = 104,84 т
Q4год = (38,84+118,65+192,63+70,73)/4 = 420,85/4 = 105,21 т

4. Определяем средневзвешенные индексы сезонных колебаний (по всем годам):
Iквартал:
[(0,291∙101,1)+(0,2871∙104,27)+(0,2774∙104,87)+(0,269∙105,21)]/(101,1+104,27+104,84+105,21)=
=(29,42+29,94+29,09+28,3)/412,42=116,75/412,42=0,283
IIквартал:
[(0,878∙101,1)+(0,868∙104,27)+(0,8392∙104,84)+(0,8142∙105,21)]/412,42=(88,766+90,506+87,982+85,662)/412,42=
=352,916/412,42=0,856
IIIквартал:
[(1,41∙101,1)+(1,402∙104,27)+(1,3588∙104,84)+(1,309∙105,21)]/412,42=
(142,551+146,187+142,457+137,72)/412,42=568,915/412,42 = 1,379
IVквартал:
[(0,513∙101,1)+(0,5076∙104,27)+(0,491∙104,84)+(0,4767∙105,21)]/412,42=(51,86+52,93+51,48+48,72)/412,42=
=204,99/412,42=0,497

5. Определяем тренд с учетом сезонности:
Первый год:
ỹ'Iкв = ȳi∙icез = 128,57∙0,283 = 36,90
ỹ'IIкв = ȳi∙icез = 129,89∙0,856 = 111,19
ỹ'IIIкв = ȳi∙∙icез = 131,21∙1,379 = 180,94
ỹ'IVкв= ȳi∙icез = 132,52∙0,497 = 65,86 и так далее...

6. Определяем индекс сезонности для каждого месяца и квартала (по всем годам), т:

Период Месяц Первый год Второй год Третий год Четвертый год Средние
(за 4 года)
ȳi		 Индекс сезонности
(по месяцам)		 Индекс сезонности
(квартал)
i % i %
Зима Декабрь 11,0 11,3 11,35 11,42 11,27 0,326 32,6 0,336 33,6
Январь 9,0 9,24 9,28 9,336 9,21 0,266 26,6
Февраль 14,0 14,39 14,45 14,54 14,35 0,415 41,5
Весна Март 14,4 14,802 14,86 14,96 14,76 0,427 42,7 0,815 81,5
Апрель 28,0 28,81 28,94 29,13 28,72 0,831 83,1
Май 40,0 41,17 41,36 41,63 41,04 1,187 118,7
Лето Июнь 46,0 17,35 47,57 47,89 47,2 1,365 136,5 1,771 177,1
Июль 59,0 60,74 61,03 61,43 60,55 1,752 175,2
Август 74,0 76,19 76,55 77,06 75,95 2,197 219,7
Осень Сентябрь 52,0 53,53 53,78 54,14 53,36 1,544 154,4 1,078 107,8
Октябрь 41,0 42,2 42,4 42,68 42,07 1,217 121,7
Ноябрь 16,0 16,45 16,52 16,63 16,4 0,474 47,4
Итого 404,4 416,172 418,09 420,85 414,88 - - - -
Общая средняя 33,7 34,681 34,84 35,07 34,57 - - - 100

6. Определяем средний уровень (ȳi) по формуле простой средней арифметической:
Декабрь (ȳi) = (11,0+11,3+11,35+11,42)/4 = 11,27 т
Январь (ȳi) = (9,0+9,24+9,28+9,336)/4 = 9,21 т

7. Определяем общий средний уровень (ȳ) на основании месячным средним уровням (ȳi)
ȳ = Σ ȳi / n = 414,88/12 = 34,57
n – число лет

8. Определяем индекс сезонности по месяцам:
Iсез = ȳi / ȳ
Декабрь = 11,27/34,57 = 0,326 или 32,6%
Февраль = 9,21/34,57 = 0,266 или 26,6%

9. Строим график сезонной волны (по месяцам)