Лекция 12. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И
ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ В СТАТИСТИКЕ
1. Средние величины в статистике.
2. Структурные величины в статистике.
3. Вариация. Показатели вариации.
Средняя величина в статистике – это общая характеристика совокупности по количественно изменяющемуся признаку и показывает уровень признака,
который относится ко всей совокупности.
Для правильного применения средней величины необходимо, чтобы исследуемая совокупность была однородной и число единиц совокупности было достаточно большим.
С помощью расчета средних величин решаются следующие задачи:
1. Определение характеристики типов явлений;
2. Определение характеристики уровня развития явлений во времени;
3. Сравнение двух или нескольких уровней;
4. Выявление и характеристика взаимосвязей социально-экономических явлений;
5. Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве.
В зависимости от характера статистических данных применяют следующие виды средних величин:
- средняя арифметическая;
- средняя гармоническая;
- средняя геометрическая;
- средняя квадратическая;
- средняя хронологическая.
В изучении средних величин применяются следующие показатели и обозначения:
1. Признак, по которому находится средняя, называется осредняемым признаком и обозначается (Х);
2. Величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности называют индивидуальным значением или вариантами,
обозначается как (Х1, Х2 … Хn);
3. Частота (вес) – это повторяемость индивидуальных значений признака и обозначается буквой (f);
Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.
Средневзвешенное значение – это такое значение, где учитывается «вес» (важность) каждого слагаемого.
Справочно: В статистике при расчете некоторых средних значений важную роль играет «вес» каждого числа,
используемого при вычислениях. Результаты более показательны и корректны, поскольку учитывают больше информации. Такая группа величин носит общее название
«средневзвешенное значение».
Рассмотрим пример, где наглядно рассматривается понятие «вес».
Два раза в день в больнице происходит замер температуры тела у каждого пациента.
Из 100 больных в разных отделениях госпиталя:
- у 44 человек – температура нормальная = 36,6 градусов;
- у 30 человек – повышенное значение = 37,2 градуса;
- у 14 человек = температура 38,0 градусов;
- у 3 человек – температура тела = 39,0 градусов;
- у 9 больных = 40,0 градусов.
Если брать среднее арифметическое значение, то величина в общем будет составлять более 38 градусов =
(36,6+37,2+38,0+39,0+40,0)/5 = 38,16 градусов.
Однако, 44 пациента имеют совершенно нормальную температуру. И для определения точной температуры по госпиталю корректнее использовать средневзвешенное значение,
где «вес» каждой величины будет количество людей.
В этом случае, средняя температура будет составлять 37,35 градусов =
= [(44∙36,6)+(30∙37,2)+(14∙38,0)+(3∙39,0)+(9∙40)] / 100 = 37,35 градусов.
Базой для вычисления простой средней арифметической служат первичные записи результатов статистического наблюдения:
подводят итоги и эти итоги делят на количество объектов исследования.
Простая средняя арифметическая вычисляется в тех случаях, когда показатели веса (часто́ты) отсутствуют или равны между собой.
Пример. На потоке второго курса факультета «Экономика»- 5 групп:
- в первой группе – 20 человек студентов;
- во второй группе – 24 человека студентов;
- в третьей группе – 26 человек;
- в четвертой группе – 32 человека;
- в пятой группе – 33 человека.
Определить среднюю численность студентов, применяя простую среднюю арифметическое вычисление
Х = (20+24+26+32+33) / 5 = 27 человек
Величина, для которой исчисляется средняя или «осредняемый признак», обозначается (Х). Средние величины (Х) обозначаются через
(
Х). Такой способ обозначения указывает на происхождение средней величины из конкретных величин.
Черта сверху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений.
Среднюю арифметическую взвешенную определяют, как частное от деления суммы произведений вариантов на их количество (частоты) и
суммы количества (частот).
Средняя гармоническая величина – это величина обратная средней арифметической, начисленная из обратных значений признака.
Средняя гармоническая величина имеет сложную конструкцию по сравнению со средней арифметической, но это ее свойство оказывается полезным при изучении
качественных и интенсивных признаков.
Если частоты (веса) отсутствуют или равны между собой, то применяется средняя гармоническая простая.
К структурным средним величинам относятся мода и медиана.
Мода– это число, которое встречается в вариационном ряду чаще других, то есть имеет наибольшую частоту.
Например, найти моду ряда чисел: 1;7;3;8;7;12;22;7;11;22;8.
Чаще всего в этом ряду встречается число 7 (три раза) – оно и будет модой данного ряда чисел.
Медиана – это число, записанное посередине.
Медиана упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных по середине.
Медиана произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Например,
- в ряде чисел: 2;5;9;15;21 (не четное количество чисел) - медианой является число 9, находящееся по середине;
- в ряде чисел 4;5;7;11;13;19 – четное количество чисел и поэтому ищем не одно, а два числа, записанных по середине.
Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел: (7+11):2 = 9. Число 9 является медианой данного ряда.
Вариация – это изменение значений признака или его колеблемость за определенный период или на момент времени.
Показатель вариации – это показатель, характеризующий колеблемость признака.
Для определения абсолютной меры колеблемости признаков или величины вариации применяются следующие показатели вариации:
- размах вариации;
- среднее линейное отклонение;
- дисперсия признака (или средний квадрат отклонения);
- коэффициент вариации.
Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значениями признака в изучаемой совокупности.
Например, найти размах чисел: 2; 5; 8; 12; 33.
Наибольшее число – 33, а наименьшее – 2, значит размах составляет 31, то есть 33-2 = 31.
Размах вариации выражается в тех же единицах измерений, что и варианты ряда.